Approssimazione di integrali

Il nostro problema è: data una funzione $f$ integrabile su un intervallo [a,b], calcolare

$$I(f) \equiv \int _a ^ b f(x)dx$$

e se $f(x) \approx \phi(x)$ con $\phi(x) \in \prod _n$, essendo l'integrazione di polinomi semplice, il problema viene risolto calcolando

$$I(f) \equiv \int _a ^ b f(x)dx \approx \int _a ^ b \phi(x)dx$$

dove risulta

$$\int _a ^ b \phi(x) dx = \int _a ^b \sum _{i=0} ^n a_i x^i dx = \left[ \sum _{i=0} ^n a_i \frac{x^{i+1}}{i+1} \right] _a ^b$$

scegliendo il polinomio interpolante la $f$ come $\phi(x)$ il problema diventa quello di calcolare l'integrale del polinomio interpolante su determinate ascisse in [a,b].