Ascisse di Cebyshev

Abbiamo visto nel caso della funzione $\sin$ che un polinomio di grado maggiore costituiva una approssimazione migliore della funzione. Ci aspetteremo quindi che all'aumentare del grado del polinomio interpolante questo approssimi sempre meglio la funzione, e che all'aumentare di $n$ la famiglia di polinomi interpolanti tenda alla funzione.

Questo non è vero se scegliamo le ascisse a distanza costante nell'intervallo di approssimazione. Consideriamo ad esempio la funzione di Runge così definita

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$ (3.1)

nell'intervallo $[-5, 5]$. Vediamo i grafici dei polinomi interpolanti la $f$ definita in 3.1 di grado crescente. Per $n=6$ (cioè $h=10/6 \approx 1.666667$) si ha il grafico in figura 3.3. L'approssimazione è accettabile. Proviamo ad aumentare il grado: con un polinomio di grado 9 (fig. 3.4) il risultato è ancora abbastanza buono. Se il polinomio è di grado 12 diventa evidete che l'approssimazione della funzione è pessima nel primo e nell'ultimo intervallo della partizione (fig. 3.5). Alzando il grado a 20 si ottiene il risultato disastroso della figura 3.6

Figura 3.3: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 6 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse a distanza costante

Figura 3.4: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 9 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse a distanza costante

Figura 3.5: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 12 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse a distanza costante

Figura 3.6: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 20 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse a distanza costante

La scelta delle ascisse di Cebyshev risolve questo problema. Le ascisse di Cebyshev sono definite in $[-1; 1]$ da

$$x_{k}^{(i)}=\cos\big(\frac{2k+1}{i}\frac{\pi}{2}\big) \quad k=0\ldots i-1$$ (3.2)

Nela (3.2) $i$ è il grado del polinomio interpolante.

Per riportare le ascisse dall'intervallo $[-1; 1]$ a un generico intervallo $[a;b]$ si usa questa formula, che trasforma $x \in [-1; 1]$ in $X \in [a;b]$:

$$X=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}x$$

Con le ascisse di Cebyshev i risultati ottenuti con la funzione di Runge sono infatti migliori e si può vedere che all'aumentare del grado del polinomio interpolante il polinomio tende effettivamente alla funzione. Nelle figure 3.7-3.10 si vedono i grafici dei polinomi interpolanti la funzione di Runge di grado 6,9,12,20 scegliendo le ascisse di interpolazione di Cebyshev

Figura 3.7: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 6 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse di Cebyshev

Figura 3.8: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 9 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse di Cebyshev

Figura 3.9: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 12 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse di Cebyshev

Figura 3.10: Interpolazione della funzione di Runge con un polinomio di grado 20 nell'intervallo $[-5; 5]$. Ascisse di Cebyshev