Interpolazione di funzioni mediante polinomi

Problema: data una funzione $f$ ed $n+1$ ascisse distinte $x_i$ trovare un polinomio di grado al più n che ``interpola'' la funzione nelle ascisse date. Più formalmente, date n+1 coppie $(x_i,f_i)$ si cerca $p_n \quad \in \prod _n$ tale che $p_n (x_i)=f_i \; \forall i=0 \ldots n$ dove con $f_i$ indichiamo $f(x_i)$. Per determinare un polinomio di $\prod _n$ servono $n+1$ condizioni in quanto $\prod _n$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$ infatti

• $\forall p \in \prod _n \; p= \sum _{i=0} ^{n} a _i x^i$
• i vari $x^j$ sono linearmente indipendenti (principio di identità dei polinomi)

quindi i vari $x^j$ sono una base.