Fattorizazione QR

Lo scopo della fattorizzazione QR è quello di fattorizzare una matrice A nel prodotto di una matrice Q ortogonale e di una R triangolare superiore mediante un metodo analogo al precedente nel quale ad ogni passo si costruiscono delle matrici ortogonali dette matrici di Householder. Sia $P=I- 2\frac{v v^T}{v^T v}$, ($v \neq 0$) $P=P^T$ ed inoltre $P^2=P^T P = I$ cioè è ortogonale. Considero $x \in R^n, \: x \neq 0$ impongo che $Px$ sia un multiplo di $e_1$ cioè $Px= \alpha e_1$ con $\alpha \in R$ segue che

$$\bigr\vert \bigr\vert Px \bigr\vert \bigr\vert _2 ^2=\bigr\vert \... ...2 ^ 2 \rightarrow \alpha =\pm \bigr\vert \bigr\vert x \bigr\vert \bigr\vert _2$$

l' ultima uguaglianza vale perché P è una matrice ortogonale e moltiplicate un vettore per una matrice ortogonale non influisce sulla norma. Sia adesso $v=x + \beta e_1$ allora

$$Px = x( 1 - 2 \frac{v^T x}{v^T v}) - \beta 2 \frac{v^T x}{v^T v} e_1$$

$2 \frac{v^T x}{v^T v} = 1$ quindi $Px = -\beta e_1 = \alpha e_1 = \pm \bigr\vert \bigr\vert x \bigr\vert \bigr\vert$ per quanto riguarda il segno di $\beta$ sia che il segno + che il segno - vanno bene, però ci sino sue motivi che ci spingono a scegliere con attenzione.
Primo motivo: si deve notare che $v=x + \beta e_1$ e ci ricordiamo che la somma è un'operazione ben definita se i termini sono dello stesso segno

$$v= x + \beta e_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_... ...}{c} x_1 + \beta \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array}\right)$$

quindi scegliamo come segno di $\beta$ il segno di $x_1$.
Secondo motivo: se $x \neq \underline{0}$ allora la prima componente di $v$ è non nulla e quindi possiamo dividere l'intero vettore per tale componente, in questo modo la prima componente diventa 1 e non è necessario memorizzarla. La struttura del vettore $v$ viene alterata, ma fortunatamente non quelle della matrice $P$ (infatti la matrice $P$ determinata da $v$ è la stessa determinata da $\alpha v$.